안녕하세요! 저는 현재 서울공대 재료공학부에서 박사과정 밟고있는 대학원생입니다. 조금 시간이 지난 질문이지만, 그래서 이미 좋은 답을 얻으셨을지 모르겠지만 답변을 드리려고 해요.

1. 전반적으로는 아무래도 자연대는 보다 기본적인 과학에 대한 공부를 하고, 공대는 그것을 응용한 학문 또는 응용한 시스템에 대한 공부를 하다보니, 자연대에서 공대로 대학원을 진학하시면 응용에 관한 부분이 문제가 될 수는 있겠죠. 반면 시스템이 작동하는 기본적인 과학 원리나 수식 등을 이해하고 도출하는 덴 더 장점을 가질 수 있고요. 제가 공부하는 재료공학같은 경우 공학과 과학에 모두 발을 걸치고 있는 분야인데, 그렇다보니 서울대 재료공학부엔 물리학과 출신 교수님들도 꽤 계십니다. 그리고 물리학과 화학에서 배우는 과목도 같이 많이 배워서, 학부 시절에 물리학과를 복수전공하는 경우도 더러 있고, 재료공학부 학부 졸업 후 화학부나 물리학부로 대학원에 진학하는 경우도 있어요.
드리고 싶은 말씀은, 앞으로 본인이 무엇을 공부하고 무엇에 대해 연구하고 싶으신지를 정하는 게 우선시되어야 한다는 점을 꼭 생각해주셨으면 좋겠어요. 공대에 진학한다 해도 관심있는 자연과학 분야에 대한 공부를 계속 이어가는 방법이 없지 않으니 잘 생각해 보시고 결정하셨으면 좋겠습니다.

3. 양자역학이 지금 핫한지는 잘 모르겠네요... 제가 느끼기에는 양자역학은 워낙 이젠 자연현상을 이해하는 하나의 방법으로 확립이 잘 된 상태인 것 같아요^^;
양자역학 원리가 적용된 것 중에 가장 대중적이고 비교적 이해가 쉬운 것은 레이저일 거예요. 레이저 관련 원리는 구글이나 위키피디아 등에 굉장히 자세히 나와있으니 관심있으시다면 찾아보시는 것도 좋겠습니다.
뿐만 아니라 반도체도 양자역학에 대한 이해 없이는 그 작용을 제대로 이해하기 어려운 분야죠. 고등학교 교과 과정에 띠 이론(band theory)이 이젠 들어있는 걸로 알고 있는데, 이 band theory도 양자역학을 기초로 합니다. 양자역학적 원리가 적용되는 분야는 정말 많아서, 약간의 검색으로 많은 예시를 찾으실 수 있을 것 같아요.

4. 공대 대학원까지 와서 생각해보니 수학 문제를 기계적으로 푸는 것보다는 문제를 풀 때 필요한 논리적인 사고방식, 논리적으로 문제를 전개해나갈 수 있는 능력이 핵심인 것 같습니다. 저도 고등학교 때 수학성적이 그렇게 좋진 못했는데, 아무래도 공대 진학을 목표로 하다보니 필요성을 느끼고 일단 진득하게 풀면서 논리적인 사고방식을 익혔던 게(하지만 성적은 안올라갔습니다) 지금 와서 많은 도움이 되는 것 같아요. 그리고 공대에 오면 워낙 많이 쓰다보니(물리, 화학도 결국엔 다 수학이더라구요!) 또 수학이 조금 늡니다...ㅎ...